Quadrati, triangoli e draghi quadrati

Nelle città degli umani qua e là fa capolino un ritaglio di verde. Alberi di città, tra un taglio e l’altro, fanno ombra ai passanti. Talvolta ci s’imbatte in giardini, con un laghetto dove nuotano neghittosi cigni e pesci rossi. Sotto i tetti e in alto sulle torri campanarie nidificano corvi e allocchi. I passerotti saltellano tra i piedi dei passanti a caccia grossa di briciole. Gli onnipresenti piccioni si becchettano avanzi e ruoli.
Anche nella nostra magica città esistono immensi spazi verdi dove si nascondono strane creature magiche (per qualche autoctono sono veri e propri mostri). Però qualche animaletto potrebbe vivere tranquillamente anche dentro una bolla di sapone, indifferente ai nostri concetti di alto e basso, davanti e dietro, sopra e sotto. Si potrebbe dire di questi animaletti che sono intrinsecamente assorti nei fatti loro. O forse che il loro metabolismo obbedisce alle regole di una geometria intrinseca.
Ma che vuol dire geometria intrinseca? Un rettangolo ha quattro angoli uguali, questo è un dato intrinseco al rettangolo. Ma se un rettangolo ha due lati verticali non è un dato intrinseco, poiché è necessario un sistema di riferimento per determinare quale direzione è da considerare verticale e quale orizzontale.
Anche voi volendo potete muovervi come un frattale intrinseco, e provare a mimare il suo comportamento. Per fare ciò dovete immaginarvi dentro uno spazio vuoto (o anche fuori di uno spazio pieno). Uno spazio privo di vincoli e punti di riferimento (alberi, case, torri, strade, colline, monti, segnali stradali, covoni di grano, spaventapasseri, ecc.) dove potete camminare liberamente. Una terra bruciata priva di cupi boschi frondosi, verdi colline ondulate e in lontananza campi di grano giallo, dove volano le albanelle; ma dove trovare un posto così? Potrebbe essere una spiaggia, davanti ad un nero mare cambriano.
Detto fatto, siete su quell’antica spiaggia (è giovedì) e siamo appena entrati nell’era Cambriana. All’improvviso un fulmine squarcia, per un istante, il cielo livido al tramonto; il rumore del tuono vi arriva all’orecchio stranamente attutito. Tanto per passare il tempo, nell’attesa d’immortale con la vostra macchina digitale il primo Eusthenopteron sulla battigia, decidete di fare un po’ di ginnastica intrinseca.
E come primo esercizio disegnate un quadrato camminando sulla sabbia. Dal guscio del trilobite, che avete appena mangiato (cotto in crosta), fate x passi avanzando dritti davanti a voi, poi girate a sinistra di 90° e avanzate di x passi, poi girate a sinistra di 90° e camminate per lo stesso numero di passi, infine girate un’ultima volta a sinistra di 90° e avanzate di un uguale numero di passi. Siete tornati al guscio del trilobite.
Come secondo esercizio provate a disegnare sulla sabbia (è meno faticoso) un semplice motivo frattale intrinseco. Disegnare un frattale a mano libera è semplice e complicato. Disegnare una Y è semplice: (1) disegnate una linea verticale; (2) girate a sinistra di 45°; (3) disegnate una linea lunga la metà della linea precedente; (4) tornate indietro al punto 2 e girate a destra di 45°; (5) disegnate una linea di lunghezza uguale alla linea disegnata al punto 3. Ora, trasformare la Y in un frattale intrinseco è invece assai complicato: dovete ripetere la procedura precedente partendo dagli estremi dei due bracci della Y, e tutte le volte le lunghezze delle tre linee, che formano il corpo delle Y, devono essere scalate della metà. Alla fine, dopo molte ripetizioni (e molte Y), vi avvicinerete al motivo frattale: un albero senza le foglie.
Per ottenere la curva di Koch a fiocco di neve dovete disegnare un triangolo equilatero, poi su ogni lato del triangolo disegnate una copia più piccola del triangolo di partenza, procedendo così fin che vi è possibile. Il risultato si avvicina a una figura geometrica frattale con un perimetro infinito, cioè due punti qualsiasi del perimetro, per quanto vicini, distano tra loro una distanza infinita. Anche se il perimetro misura una lunghezza infinita l’area racchiusa all’interno di questo triangolo è finita: 8/5 l’area del triangolo di partenza. Se si disegna sulla sabbia la curva di Koch non è facile riprodurre il frattale (ci vuole molta pazienza e precisione, e molto tempo a disposizione: tutto il tempo dell’era Cambriana).

Opus incerta